2016年第57届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)第一日试题



万众瞩目的IMO在7月11日当天终于开赛,小编也在第一时间get到了当天的试题,下面跟随小编一起来看看世界顶级中学生数学竞赛题目的真面目吧。

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Problem1

在直角三角形BCF中,点A在直线CF上且FA=FB,并且F在A,C之间,点D使得DA=DC并且AC是∠BAD的角平分线,点E使得EA=ED且AD是∠EAC的角平分线, M是FC中点,X使得AMXE是平行四边形,证明:ME,FX,BD三线共点。

Problem2

求所有的正整数n使得能够将一个 n×n 方形表格填满 I,M,O三个字母,并且满足如下条件:

◆每行、每列恰好有:三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

◆i若某条对角线上的方格数是3的倍数,则这条对角线上也恰好有三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

Note:将第i行第j列的表格记为(i,j),这里的“对角线”一共有两类4n-2条,第一类每条对角线指所有使得i+j为常数的小方格(i,j)的集合,第二类是指所有使得i-j为常数的小方格(i,j)的集合。

Problem3

有P=A1 A2 …Ak 是一个平面直角坐标系中的凸多边形,已知P内接于圆且 A1 A2 …Ak 纵横坐标均为整数.P的面积为S,正奇数n满足P每条边长度的平方均被n整除,证明:2S是一个被n整除的整数。

来源于:爱尖子微信

相关消息:

2016 年第57届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)即将在香港举办( 7.6---7.16 ),这也是香港第二次举办这一赛事。

此次参赛的中国选手有6人:

宋政钦,湖南师大附中,湖南;

杨远,石家庄二中,河北;

王逸轩,武钢三中,湖北;

梅灵捷,复旦附中,上海 .

张盛桐,上海中学,上海;

贾泽宇,人大附中,北京;

本届领队:熊斌

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