2016年第57届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)第二日试题



万众瞩目的IMO在7月11日当天终于开赛,小编也在第一时间get到了当天的试题,下面跟随小编一起来看看世界顶级中学生数学竞赛题目的真面目吧。

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本文为第二天试题:

  Problem4

  一个由正整数构成的集合称为"芳香集" ,若它至少有两个元素,且其中每个元素都与其他元素中的至少一个元素有公共的素因子,设P(n)=n^2+n+1,问 正整数b最小为何值时能够存在一个非负整数a使得集合

  {P(a+1),P(a+2)……P(a+b)}

  是一个"芳香集"

  Problem5

  黑板上写有方程:

  (x-1)(x-2)…(x-2016)=(x-1)(x-2)…(x-2016)

  其中等号两边各有2016个一次因式,试问:正整数k最小为何值时,可以在等号两边擦去4032个一次因式中的恰好k个,使得等号每一边都至少留下一个一次因式,且所得到的方程没有实数根?

  Problem6

  在平面上有n≥2条线段,其中任意两条线段都交叉,且没有第三条线段相交于同一点,Geoff在每条线段上选取一个端点并放置一只青蛙在此端点上,青蛙面向另一个端点,接着Geoff会拍n-1次手,每当他拍一次手,每只青蛙都立即跳到它所在的线段的下一个交点,每只青蛙均不会改变跳跃的方向,Geoff的愿望是能够适当地放置青蛙,使得在任何时候都不会有两只青蛙落在同一个交点上:

  (a)证明:若n是奇数,则Geoff总能实现他的愿望。

  (b)证明:若n是偶数,则Geoff不可能实现他的愿望

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来源于:爱尖子微信

相关消息:

2016 年第57届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)即将在香港举办( 7.6---7.16 ),这也是香港第二次举办这一赛事。

此次参赛的中国选手有6人:

宋政钦,湖南师大附中,湖南;

杨远,石家庄二中,河北;

王逸轩,武钢三中,湖北;

梅灵捷,复旦附中,上海 .

张盛桐,上海中学,上海;

贾泽宇,人大附中,北京;

本届领队:熊斌

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