今日,一条消息震惊了整个数学界。菲尔兹奖和阿贝尔奖得主、英国皇家学会前主席、著名数学家阿提亚爵士声称,自己证明了黎曼猜想,并将在 9月24日的海德堡获奖者论坛上宣讲。
据说整个证明思路新奇,证明方法简单,目前该论坛已经被多次挤爆。
为什么这个消息会引起轰动,刷爆朋友圈呢?
先让我们来说一下这个“黎曼猜想”有多厉害。
从1859年被提出至今,黎曼猜想仍然没有得到证明。
1900年,德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学难题,被认为是20世纪数学的制高点,其中便包括黎曼猜想。
时隔100年,2000年,黎曼猜想又被美国克雷数学研究所列为世界七大数学难题之一,并悬赏100万美金。
也就是说,黎曼猜想被两次数学大会定义为数学难题,且至今无解,所以有人宣称能证明其轰动性可想而知。
那么,黎曼猜想在说什么呢?
我们都知道,有一种自然数,具备某种性质,只能被 1 和自己整除,这种我们称之为素数。小一点的素数,我们可以很快数的过来:2、3、5、7...... 等等,但是继续变大,超过 100 之后,出现的密度或者说间距就会变大,而黎曼猜想所描述的理论就是认为,素数的密度,符合某一个函数的解。
充分理解黎曼猜想,需要具备有复变函数、泛函分析等相关的数学知识和工具,但是通过一系列等价变形之后,具备一定的数论基础,就可以理解这个问题。
首先来看看,看也不一定能看懂的原文描述:
非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值)的实数部分是 1/2。
整个猜想简洁优美,缺点就是普通人看不懂。
但是在前人的工作基础上,我们可以对黎曼猜想进行一个等价的变换,比如积性函数增长率:
上面这种等价形式,对于掌握初等数论的广大同学就可以理解,所以大家也可以试试去证明这个问题。
黎曼猜想为什么这么重要呢?
关于黎曼猜想还有一个趣事,叫做哈代玩笑。
数学家哈代每次访问丹麦数学家玻尔后,要乘船渡过波涛汹涌的北海回国。每次登舟前,哈代都会给玻尔寄个明信片,上面写道:“我已经证明了黎曼猜想”。 明信片的空白当然太小。证明过程自然写不下了。 因为哈代和玻尔都在求证黎曼猜想的前沿。以哈代的数学功力真有可能证出黎曼猜想。如果他不幸遭遇海难,则因死无对证,后世无法否认(当然也没法确认)哈代真证出了黎曼猜想。而如果平安到家,哈代又何妨坦承寄给玻尔的明信片不过是又一次玩费尔马式恶作剧的典故,无伤大雅。
历史上有多人,多次声称证明了该猜想,但最后都被明为哈代玩笑。此次到底是真是假,还不好说,至少从目前在采用计算机暴力求解验证来看,还没有找到反例。
但是对于这样一个重要的猜想,无论最后证明是对是错,都将对整个学术和工业届产生很大的影响,目前来看,至少有两个:
首先,当代数学的很多定理和论文,其实都是基于黎曼猜想,进行推导演算出来的,数学家的很多工作和论文也是基于黎曼猜想展开,如果黎曼猜想被证伪,那么整个数学界都将受到极大的冲击。
其次,对于工业界而言,目前很多计算机加密算法的理论依据,都是大数分解问题,也就是将任意一个大数分解为两个素数的乘积,如果黎曼猜想被证明是对的,也就能为一个多项式时间的高效大数分解算法提供强烈的提示。
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