2021年1月27日，北京大学2021年优秀中学生寒假学堂在线对学生进行了学科素养考察，本次考核科目为语数外（9:00-12:00）+物化/政史（14:00-16:00）。

据参加这次寒假学堂的物竞同学反映，物理大致为预赛难度，数学化学比较难。以下是我们对本次数学部分的评析，试题为考生回忆版。

数学部分分值100分，一共20道单选题，时间60分钟。内容基本基本是一试难度，有竞赛基础的同学比较占优，但是时间比较紧张，做完需要比较好的直觉。

1.考察勒让德定理

2.题干条件有待补充

3.双重最值问题

4.m^3+n^3+(-33)^3-3mn(-33)的因式分解，代数变形题

5.从较小的m和n开始尝试，找出最大值后证明即可

6.函数图像，函数奇偶性

7.均值不等式求值域

8.由数列有界性分析值域

9.设出切点坐标，写出切线和其垂线斜率，得到Q点坐标，由P,F,Q三点共线列出斜率方程，求出未知数，然后算面积

10.奔驰定理

11.排列组合，从讨论甲校学生位置入手

12.先乘（1-1/2021)再除以(1-1/2021)

13.10^{2n}-10^{2n-1}>2C_{10^n-10^{n-1}}^2+10^n-10^{n-1}即可

14.这是一道经典老题目的变形.我们设a_{2n}=0(n>=1),a_1=0.

则问题变为

f(a_1)=a2,f(a_2)=a_3,...f(a_2n)=a_1了.

两两作差即可得到矛盾.

15.偶数边形很明显可以。看选项验证n=5就行了

16.内接四边形面积的求法（懒得想的话取两种特殊情形也能选出答案）

17.三角函数最值问题

18.利用z^(-1)=z共轭, 转化为三角问题

19.可以考虑把建系把解析式写出来（用物理方法理解应该会更快吧）

20.利用公式[x]+[x+1/2]=[2x],[x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x].根据小数部分分类讨论就可以

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