自主选拔在线团队对2024年全国中学生数学联赛（高联）A卷二试试题进行一次全面深入的分析，并为下2025年第41届考生提供极具针对性的备考建议。
推荐阅读：2025年数学竞赛全年赛事一览
推荐阅读：2025年第41届全国高中数学竞赛联赛通知、试题及获奖名单汇总
免费资料一：
福利资料：为助力低年级数学竞赛规划，特整理《数学竞赛升学规划指南》电子资料
领取链接：https://www.zizzs.com/form?xyppid=577695157093143561
免费资料二：
福利资料：为帮助低年级考生高效备考，特整理《2012-2024数学竞赛试题及答案领取》电子资料
2024年高中数学联赛A卷二试命题趋势与难度分析，2025参考
| 试卷类型 | 开始场次 | 试题 | 答案 |
| A卷 | 一试 | 试题 | 答案 |
| 二试 | 试题 | 答案 |
一、整体命题趋势分析
2024年的二试试题完美体现了高联二试的一贯宗旨：选拔顶尖数学人才，对接国际数学奥林匹克(IMO)。其命题趋势呈现出以下几个鲜明特点：
格局稳定，难度居高不下：继续保持“代数、几何、组合、数论”各一题的经典格局。整体难度与往年持平，没有出现偏、怪、刁钻的题目，但每一道题都对学生的数学洞察力、创造力和毅力提出了极高要求。
强调纯粹的数学思维：试题的叙述相对简洁，但背后隐藏着深刻的数学思想。它不依赖于超纲知识，而是考查学生能否用最本质的数学工具(如不等式放缩、几何变换、组合构造、同余理论)解决非标准问题。
重在探索与证明：四道题均为证明或求值题，其中第1、3题需要先“探索”出最大值或最大值，再进行证明。这要求考生不仅要有强大的逻辑推理能力，还要有猜想、归纳和逆向思维的能力。
强烈的IMO既视感：尤其是第三题(组合极值)和第四题(数论与集合)，其题型和风格与IMO试题高度相似，旨在为国家队选拔做好铺垫。
二、知识模块占比分析
| 题号 | 模块 | 分值 | 占比 | 核心考点 |
|---|---|---|---|---|
| 一 | 数论 | 40分 | 22.2% | 等比数列、逼近理论（丢番图逼近）、不等式 |
| 二 | 平面几何 | 40分 | 22.2% | 圆幂定理、四点共圆、切线性质、相似变换 |
| 三 | 组合数学 | 50分 | 27.8% | 极值组合、连通性、染色问题、构造与论证 |
| 四 | 数论 | 50分 | 27.8% | 集合论、整除理论、数学归纳法、素数性质 |
| 总计 | 180分 | 100% | - |
结论：数论和组合合计占比超过55%，是二试的绝对核心和决胜战场。几何是传统强项学生的保分题。这意味着备考策略必须有侧重点。
温馨提示：自主选拔在线特建立【五大学科竞赛交流群】，有一手中学生数学竞赛资讯、科普知识、老师在线答疑、不定时福利等！
扫描下方二维码进群
如果你还有其他疑问，或想了解最新招生政策、有升学规划需求、领取最新试题，可在企业微信联系人中 添加白杨老师（微信号：15321584637）好友，并备注“高考年份+省份+姓名”，老师会统一邀请大家进群~
三、核心素养考察
数学抽象与建模素养：将实际问题转化为数学问题。如第一题，需要将“到最近整数距离”抽象为函数 ‖x‖，并研究等比数列在该函数下的下界。
逻辑推理素养：这是二试的全部。每一道题都需要一个完整、严谨、无懈可击的证明过程。几何题的演绎推理、数论题的归纳与反证、组合题的双向估计(证明≥K和构造≤K的例子)，无不体现于此。
直观想象素养：在第二题几何证明中，需要通过添加辅助线(可能是连接切点、圆心等)来洞察圆之间的位置关系和角度的相等，从而证明四点共圆。
数学运算素养：不仅是算数，更是符号运算和不等式放缩的能力。第一题中对 r^k 的模长进行估计，第四题中处理 A^k 和 An+B 的形式，都涉及精巧的运算。
数据分析素养：主要体现在第三题。需要分析在任意染色下，连通集合色差绝对值的最坏情况(下确界)，这需要极强的组合直觉和分析能力。
四、难度与易错点分析
第一题(数论)：
难度：★★★★☆(较高)。入口较宽，但完成严格的证明需要技巧。
易错点：无法找到最大值 C 的表达式(与 r 的关系);证明了 ‖a_n‖ ≥ C 成立，但忽略了证明“最大性”(即对于任何更大的 C'，都存在某项使其不满足)。
第二题(几何)：
难度：★★★★☆(较高)。辅助线是关键，思路难以启发。
易错点：无法找到有效的辅助线将条件(切线、平行)与结论(四点共圆)联系起来;角度推导过程混乱，逻辑跳跃。
第三题(组合)：
难度：★★★★★(极高)。经典的“存在性+极值”问题，是本届二试的压轴题。
易错点：只能证明 K ≥某个值，而无法构造出染色方案证明 K ≤该值(即无法证明这个值就是最大值);对“连通性”这一条件的运用不足，无法有效估计任意染色下的最差情况。
第四题(数论)：
难度：★★★★★(极高)。需要多层数学归纳和深刻的数论洞察力。
易错点：无法找到证明的突破口(通常是从与B互素的素数开始，利用条件(1)(4)生成更多元素，再利用(2)(3)扩展);归纳假设的设置不合理，导致推导无法进行。
五、二试时间分配建议(总计180分钟)
二试的3小时是极度紧张的，合理的时间分配至关重要。
前10-15分钟：通读全部四道题。快速理解题意，评估各自难度和自身优势，制定作战顺序。通常选择自己最擅长的模块先做。
第一攻击目标(约50-60分钟)：选择你认为最有思路的一题(通常是几何或第一题数论)。目标是在这段时间内基本完成该题的证明，确保拿下40分。
第二攻击目标(约50-60分钟)：攻克的第二题。此时体力和精力尚可，用于解决另一个有希望的题目。
剩余时间(约60-70分钟)：全力冲击剩下的难题。
对于第三、四题，即使不能完全解决，也要力争完成一部分。例如：
第三题：哪怕只证明出 K ≥ 1 或构造一个 K=2 的例子，也能获得可观的步骤分。
第四题：证明所有素数(与B互素)属于S，或者完成归纳法的奠基步骤。
最后10分钟：检查与补漏。检查已完成题目的证明是否严谨，补充关键步骤，确保书写清晰。
核心策略：保二争三望四。保证高质量地完成两道题(80分)，争取第三题的大部分分数(20-30分)，第四题尽力写一些步骤(10-20分)，总分就有望突破100分，这是进入省队和获取一等奖非常有力的分数。
六、给第41届考生的备考冲刺建议
专题深化，突破弱点：二试备考必须是专题化的。应分为《平面几何》、《代数/数论》、《组合数学》三大板块进行深度学习和训练。尤其是组合和数论，必须投入最多精力。
研究真题，感悟风格：精做近10-15年的二试真题。每一道题都要做到：①独立完成;②对照答案，学习标准解答的思路和书写;③思考“还有没有别的方法?”、“关键步骤是哪一步?”、“如何想到的?”。
模拟实战，锤炼心态：定期进行3小时完整的套题模拟。使用历年真题或高质量模拟题。严格计时，使用答题纸，创造最接近真实考试的环境。这对锻炼抗压能力、时间分配能力至关重要。
构建“武器库”：
几何：熟练掌握圆幂、根轴、相似、调和点列、反演等高级工具。
数论：深化对整除、同余、素数、佩尔方程、无穷下降法等的理解。
组合：积累大量的计数、极值、图论、存在性问题的模型和经典结论。
注重书写规范：二试评分是分步给分。务必做到证明过程清晰、逻辑连贯、关键步骤突出、书写工整。好的书写能帮助阅卷老师快速理解你的思路，从而拿到应得的分数。
寻求外部帮助：积极与教练、同学交流讨论。参加优质的暑期夏令营和寒假培训班，接触更高水平的讲师和同行，往往能获得“顿悟”般的提升。
最后，二试是一场智力和毅力的双重马拉松。祝愿每一位有志于此的考生都能沉心静气，稳步提升，在未来的赛场上绽放光彩!
px.png)
