2025年CMO决赛代数板块预计延续“经典+创新”风格，重点落在多项式与根的关系、数列与递推、不等式与极值三条主线。

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2025中学生数学竞赛决赛（CMO）的代数部分主要考查哪些内容？

　　多项式与根——恒等式与不可约判定

　　CMO代数题的第一大核心是多项式理论。2025命题组预计仍将围绕“根与系数”“整系数不可约”两条主线展开：既可能要求用牛顿恒等式把幂和对称式转化为初等对称式，也常在模p或艾森斯坦准则上设置不可约判定。此外，复根共轭、单位根的循环性质常被嵌入数论或组合场景，考查选手对代数结构的整体把握。

　　数列与递推——母函数与特征根技巧

　　第二大板块是数列与递推。决赛惯于给出带参的非线性递推，需要先做变量替换或倒数转化，再用特征方程、母函数，甚至发生函数求闭式;对不能求闭式的情况，则通过估计上下极限证明单调有界。2025年预计出现“混合阶”递推——把二阶线性项与乘法项耦合，检验选手对“降阶—解耦—归纳”三步法的熟练度。

　　不等式与极值——放缩、对称化与取等分析

　　最后一大看点是不等式与多元极值。命题人倾向把均值、柯西、舒尔等基础不等式嵌入对称或循环式中，再叠加约束条件，要求寻找取等路径;更难的题会把极值点移到边界，需要拉格朗日乘子或局部调整法。大纲强调“写清放缩理由”，步骤分占比提高，意味着仅靠直观“猜最值”已难获高分，必须给出严谨推导与等号成立条件。

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