2024年CMO决赛第二天试题究竟难在哪？2025年考生如何备战？

2025-10-17 16:23|编辑: 小李老师|阅读: 42

摘要

为方便数学竞赛生冲刺11月决赛考试，自主选拔在线特整理2024年高中数竞决赛（CMO）第二天试题命题趋势与难度分析，供2025年考生参考。

基于2024年第40届全国中学生数学竞赛决赛（CMO）第二天试题的内容，以下从命题趋势、知识模块、核心素养、难度与易错点、时间分配和备考建议等方面进行详细分析，旨在为第41届考生提供备考指导。

数竞高中排行榜：2025年全国中学生数学联赛省队/省一中学榜

免费资料一：

福利资料：为助力低年级数学竞赛规划，特整理《数学竞赛升学规划指南》电子资料

领取链接：https://www.zizzs.com/form?xyppid=577695157093143561

免费资料二：

福利资料：为帮助低年级考生高效备考，特整理《近10年数学决赛试题及答案》电子资料

领取链接：https://www.zizzs.com/form?xyppid=558389017792482370

2024年CMO决赛第二天试题究竟难在哪？2025年考生如何备战？

一、命题趋势分析

2024年CMO第二天试题延续了近年来的命题特点，强调数学各分支的融合与创新，具体趋势如下：

跨学科综合：试题涉及几何、数论和代数等多个领域，体现数学知识的整体性。例如，第4题结合几何与数论中的“小数距离”，第5题融合数论与组合映射，第6题则聚焦代数不等式。
构造性与存在性证明：第5题要求证明存在无穷多个素数使映射存在或不存在，需要构造反例或利用数论性质，突出数学的构造思维。
实际问题抽象化：第4题通过“小数距离”定义，将现实中的取整问题抽象为度量空间，考查学生的数学建模能力。
不等式与极值问题：第6题给定多个约束条件，求极差下界，需熟练运用不等式技巧，反映CMO对优化理论的重视。

整体上，CMO试题更注重思维深度而非计算量，强调逻辑推理、创新意识和数学本质的理解。

二、知识模块占比

三道题均匀覆盖数学核心分支，占比均衡：

几何（第4题，33.3%）：涉及坐标平面、距离函数与整数部分概念，本质是组合几何问题。
数论（第5题，33.3%）：关注素数性质、双射映射和模运算，与二次剩余相关。
代数（第6题，33.3%）：考查序列不等式、极值问题和渐近分析，需运用方差、柯西-施瓦茨不等式等工具。

这种分布体现了CMO对数学全面能力的考察，考生需避免偏科。

三、核心素养考察

试题突出以下数学核心素养：

数学抽象：第4题的“小数距离”定义（ $∥ x ∥$ 表示到最近整数的距离）需抽象理解距离函数。
逻辑推理：第5题的存在性证明要求严密的逻辑链，包括反证法和分类讨论。
数学建模：第6题可建模为优化问题，通过约束条件求极差下界。
运算能力：所有题目均需熟练的代数运算，如第6题的求和与不等式推导。
创新思维：第5题需构造特定映射或利用素数性质，考验创造性解题。

四、难度与易错点分析

第4题：小数距离几何问题

难度：中等
易错点：
- 误解“小数距离”定义，误用欧几里得距离公式。
- 未能找到四点间最小距离的最大值 $r$ ，可能忽略单位正方形内点的对称性。
关键：考虑点分布在单位正方形内，利用鸽巢原理或网格点分析，最终得 $r = 2 2$ （需验证）。

第5题：素数与双射映射

难度：高
易错点：
- 不理解条件“ $p ∣ a^{2} - b$ ”意味着 $a^{2} \equiv b (mod p)$ ，导致无法联系二次剩余。
- 忽略双射性，错误构造映射。
关键：对于存在性，可构造线性映射；对于非存在性，利用二次剩余的无界性。2024为常数，需分析素数大小的影响。

第6题：代数不等式

难度：中等偏上
易错点：
- 第(1)问未利用约束条件 $\sum a_{i} = n, \sum a_{i 2} = 2 n, \sum a_{i 3} = 3 n$ 推导方差，误认为 $a_{i}$ 均值为1即可。
- 第(2)问未找到渐近下界 $C_{2} n^{-1/2}$ ，可能忽略高阶矩分析。
关键：第(1)问通过方差得极差至少1；第(2)问需用更紧的不等式（如Power Mean Inequality）。

五、时间分配建议

考试总时长通常为4小时，三道题建议时间如下：

第4题：60–70分钟（相对直观，但需仔细验证）
第5题：90分钟（数论部分复杂，需深度思考）
第6题：80分钟（第(2)问可能耗时，优先完成(1)问）

备用时间10分钟用于检查。总体策略：先易后难，确保第4题和第6题(1)问的得分。

六、第41届考生备考冲刺建议

夯实基础：
- 熟练数论（素数、模运算、二次剩余）、组合几何（网格点、距离函数）、代数不等式（柯西-施瓦茨、均值不等式）等核心模块。
- 推荐教材：《数学奥林匹克小丛书》、《奥数教程》系列。
真题训练：
- 精练近10年CMO真题，分析命题规律和评分标准。
- 针对薄弱模块专项突破，如第5题类数论问题。
提升思维深度：
- 注重构造法、反证法、存在性证明等高级技巧。
- 参加模拟考试，培养时间管理和心理素质。
错题复盘：
- 建立错题本，总结易错点（如定义误解、逻辑漏洞）。
- 组队学习，相互讲解，拓展思路。
关注前沿动态：
- 了解CMO命题新趋势，如组合数论、代数几何融合题。
- 参考国际数学奥林匹克（IMO）试题，提升国际视野。
冲刺阶段计划：
- 考前3个月：每周2套模拟题，限时完成。
- 考前1个月：聚焦高频考点和个人弱项。
- 考前1周：复习错题，调整心态，保持手感。

自主选拔在线总结

2024年CMO第二天试题体现了高水平的数学思维要求，第41届考生需通过系统训练和策略备考，全面提升抽象推理、创新解题能力。自主选拔在线平台（www.zizzs.com）提供丰富的竞赛资源，建议考生充分利用其真题解析和备考指导，助力冲刺更高奖项。

温馨提示：五大学科竞赛国家集训队成员可保送清北。获金牌、银牌的考生在强基计划入围、综合评价初审中，学科竞赛奖项可提升竞争力。备考同学可加入“五大学科竞赛交流群”，获取最新竞赛资讯~

扫描下方二维码进群

如果你还有其他疑问，或想了解最新招生政策、有升学规划需求、领取最新试题，可在企业微信联系人中 添加白杨老师（微信号：15321584637）好友，并备注“高考年份+省份+姓名”，老师会统一邀请大家进群~