对于志在数学竞赛中夺得CMO金牌的初高中生而言，科学的学习规划是关键。本期，齐鲁家长圈为大家整理了北大数院杨老师将为大家详细解说数学竞赛的学习方法，帮助学生们在数学的海洋中乘风破浪，直指金牌。

众所周知，在五大学科竞赛中获得奖项对强基、综评等特殊招生起到重要作用，尤其是数学竞赛奖项含金量极高！

但目前仍然有很多同学家长不确定适不适合学习竞赛，也不知道如何判断，犹犹豫豫延误时间！为此，齐鲁家长圈特为大家带来数理化生信五大学科竞赛学习规划系列文章，实现利用竞赛低分上名校！

本期北大数院杨老师为大家详细解说，目标金牌的初高中生应该如何规划自己的数学竞赛学习？各位同学家长速来学习，欢迎持续关注，多多分享给更多人呦！

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本篇主要介绍目标是CMO金牌应该如何规划数学竞赛的学习。之前已经详细的介绍过初中起步和高中起步的同学学习各个板块和内容的时间规划，这篇文章主要分板块谈论二试以及CMO内容知识的学习方法。在开始之前，最重要的是要明白两点：

第一，竞赛学习的目标要高远，目标尽可能地定的高，不要觉得某些内容和方法联赛不考，我们就不学习，我们目标至少要CMO金牌起步，所以学习的时候不能有畏难情绪，不能有偷懒的念头。

第二，竞赛的成绩是我们学习数学路上的副产品，我们学习数学竞赛是因为我们热爱数学，参加竞赛拿到奖项只是对我们的褒奖，只是国家给予我们的荣誉。学习的动力应该主要来自于对数学的热爱，少部分来自于功利的目的。

因为我们对数学有热爱，所以在学习的时候不会挑肥拣瘦，只要是优雅的数学知识我们都可以欣赏，都愿意去学习。因为CMO考试题目出现越来越多的新颖风格的问题，我们对考察的知识不能带有经验性的预判。明白了这两点我们再谈各个板块的学习。

第一部分：平面几何的学习

在前文中提到过平面几何是我们学习二试的第一个板块，之所以平面几何比较容易拿分是因为其结论相对比较固定常见，并且拿到题目的时候，即使思路不明朗也有比较大的可做的空间。

所以我们对于平面几何的学习要抓住这两个基本点，首先要熟悉所有的高中数学竞赛平面几何中涉及的基本构型及其性质，每一条定理和性质一定要自己亲自推一遍，因为每一个定理和结论一定是克服了一个本质困难的点，在我们亲自推理的过程中遇到的困难一定要引起重视，仔细研究书中对这个问题的证明方法有什么好处，作者的思路来自于哪里。这些定理和结论在脑海中要形成网状的知识结构，任何一个点，它的来历，它的前因后果，它的各种证明方法都要尽可能多的知道。

其次，要让自己在没有明朗思路的时候有很多事情可做，如何做到这一点？要求我们为每类问题总结一系列的解题方法，例如，如何证明三点共线，我们可以考虑诸如导角、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、根轴、帕斯卡定理、迪沙格定理等各种方法。在面对证明三点共线问题的时候，就可以结合题目条件，逐一选择比较合适的方法来进行尝试。很多时候一个问题做不出来，不是因为知识没有学过，而是有一些切入角度没有尝试。所以我们需要建立完备的解决每个问题的方法论体系，这样在做题遇到困难的时候也有很多可做的事情。

把这两点做好，学习完成之后再辅以一些近十年的国内外赛事题目作练习，磨练自己的几何解题体系。

第二部分：代数部分的学习

代数部分是作为基本功存在的一个板块，是我们剩下所有板块学习的基础，代数思想方法主要包括两个部分，一个是恒等式，一个是不等式。

恒等式要求我们有较强的代数变形能力，在不损失信息的情况下把自己需要的部分整理出来，很多没有思路的问题和放缩方向不明朗或者一放缩就过的问题中，恒等变形是一个很重要的步骤，包括在很多组合和数论问题中，第一步也是要求我们先对题目中描述的对象进行代数恒等变形。

不等式能力的要求，我们对普通的数字是有大小感知的，几千肯定是大于几百的，但是我们对于代数式子的大小感知是不熟悉的，需要我们在平时的训练中去总结感受，例如简单的平方和是要比交叉项的乘积要大的，某些代数式写出来能不能特别大或者特别小，要培养自己对不同数式的感知，这部分在一试中的求最值问题中已经得到部分训练。二试要求我们对于元的更复杂的代数式有更加深入的了解。

把这两个基础打扎实是我们学习代数的主要任务，除此之外还要专门学习多项式，复数和抽象函数等问题，这些问题有自己独特的解题方法要学习。

第三部分：初等数论的学习

初等数论随着学习资料越来越多，题目越出越多，分析方法越来越明朗，这部分也是参加竞赛的同学必争之地。和平面几何一样的需要我们重视两点，一个是初等数论教科书中出现的经典定理和结论的学习，另一个是总结各种问题的证明方法，保证覆盖到除了特别冷僻的方法之外的所有方法。

与平面几何不同的是，初等数论对代数的要求更深入一些，时时刻刻需要我们对式子的大小进行感知和估计，在此基础上再结合素因子分析和同余分析等方法；除此之外初等数论对于构造和思维的要求也很高，这部分和组合数学的学习有异曲同工之妙，我们放在下面一个部分讲。

第四部分：组合数学的学习

组合数学作为综合而言最难的一个板块，需要花足够的时间才能入门，想要精通更是难上加难。数学竞赛总是给人一种不会做想不到，但是看完答案只觉得很巧秒，好像没有很复杂的感觉，这种感觉在组合数学中尤其突出，所以我们在做组合训练的时候尽可能不看答案，自己想办法解决问题，把组合题看成一个科研问题，自己做试验（研究规模更小的更简单的情况，或者最糟糕的情况）等想办法解决问题。

在这个过程中锻炼自己设立假设的能力，即只需要证明什么问题就可以证明本题，以及锻炼自己的思维长度，即像下棋一样可以看到后续的复杂度和可行性。在一次又一次的这样克服组合问题的过程中，学生对数学思维的体会是最深刻的。CMO考试中4.5个小时做3个题，目标金牌的话4.5小时只需要做出两个题，这么长的时间就是让我们尽可能充分的探究问题。所以学习组合数学的时候就是要尽可能培养我们的数学思维和探索能力。

写在最后

四大板块的学习中切忌以学代思，在掌握基本的数学思想和基本的知识后就可以解决绝大部分高联二试甚至是冬令营1245难度的问题。

不要被各式各样的引理和结论迷花了眼，好像只有知道了这些结论才能解决竞赛问题，要知道我们要提高的是做新题的能力，而不是在故纸堆和陈题里称王称霸，所以要把重心放在思考上，思考题目和解答内在的数学思想，基本方法，至于结论背景和特别特定化的技巧，不要花太多时间精力去研究。