2025年第41届全国中学生数学奥林匹克竞赛（CMO）决赛战罢！本届试题在创新性与综合性上再度加码，尤其组合与数论题对顶尖选手构成巨大挑战。

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2025年数学竞赛决赛CMO试题评析出炉

　　复数与多项式(难度：★☆☆☆)

　　题目特点：温和而新颖，被不少选手称为“打卡题”。

　　这道题考察复数集上的多项式映射性质。题目设定了一个扇形区域A和一个带状区域B，要求找出所有将A映射到B的复系数多项式。解题关键在于分析多项式次数对区域变换的影响，结合最大模原理与代数基本定理，导出只有常数多项式满足条件。

　　备考建议：第一题虽“易”，但CMO从来重视论证的严密性。建议考生训练时注重步骤完整、逻辑清晰，避免因表达疏失丢分。

　　平面几何(难度：★★★☆)

　　题目特点：风格鲜明、难度较高，是一道小分水岭题。

　　本题围绕圆内接四边形展开，涉及多点共圆、对角线交点、垂线构造等经典几何元素，但附加了若干特殊条件，如特定角度关系与长度约束。解题需综合运用几何变换、反演与代数化方法，寻找极值状态。

　　命题人背景：该题延续了姚一隽教授一贯的几何风格——条件精炼、结构深刻，强调对图形性质的深层次挖掘。

　　组合数学(难度：★★★★★)

　　题目特点：难度跃升，堪称“拦路虎”，是区分顶尖选手的关键题。

　　题目设定了一个双色卡片系统，通过不断取平均数操作，目标是使红色卡片数字总和超过100。解题需建立离散过程模型，设计最优操作策略，并借助贪心算法与不等式估计，求出最小的n。

　　总结：这三道试题梯度合理，第一题“送温暖”，第二题“设门槛”，第三题“定高低”。能够清晰地把铜牌水平、金银牌水平、以及国集甚至国家队水平的学生区分开来。

　　组合(难度：★★★★☆)

　　第一小问较易，第二小问上难度。整体难度不低，尝试构造全(半)不变量，将抽象结构代数化，但能寻找到这样的关系量，经验、运气、实力缺一不可。答案其实不难得到，难的是想明白和写清楚。感觉是区分度很大的一题，尤其是放在4这个位置。

　　代数不等式问题(难度：★★★☆☆)

　　因为取等很常规，所以一定要相信考生们有千方百计来处理这个不等式，甚至感觉暴力展开也可以做，相比第四题来说简单太多了，考场上能及时跳四做五的同学有大智慧。

　　这道题可能会导致今年的银牌线提升。

　　数论(难度：★★★★★)

　　高难度题。要用到模线性方程 + 排列构造，涉及群论中的循环群、单位、多项式环等概念，是今天3道题中抽象程度最高、难度最大的题目。不过从这题来看，扩域几乎也成了CMO必考知识点了。